Théorie des groupes et Rubik's cube
card G = 8! x 37 x 12! x 210 = 43 252 003 274 489 856 000 |
card G = 11 x 72 x 53 x 314 x 227 |
Le plus grand facteur premier du nombre de permutations d'un cube NxNxN est le plus grand nombre premier inférieur ou égal à la longueur du plus grand cycle possible de pièces du cube. |
card( G ) =card( HS ) x card( HA ) / 2 |
Il y 73 ordres différents pour les éléments de G. |
Le plus grand ordre possible d'un élément du groupe du Rubik's cube est 1260. |
Echange de deux paires de CS agh <--> adh , pgh <--> pdh |
"Manoeuvre des 6" |
a (dhd'h')3 a' | d2h2d2h2d2h2 |
Rubik | Thistelthwaite |
h2.gd'.a.gd'.b.gd'.p2.dg'.b.dg'.a.dg' | d'h2d2hd'h'd'h2gada'g' |
2-twist | 2-twist bis | 3-twist |
d'b db' d'bd . h' . d'b'd bd'b'd . h | hp'h'g'p'g.a2.g'pghph'.a2 | (ad'a'd.dh'dh.ha'h'a)2 |
1 | 2 | 3 | |||||||||
4 | h | 5 | |||||||||
6 | 7 | 8 | |||||||||
9 | 10 | 11 | 17 | 18 | 19 | 25 | 26 | 27 | 33 | 34 | 35 |
12 | g | 13 | 20 | a | 21 | 28 | d | 29 | 36 | p | 37 |
14 | 15 | 16 | 22 | 23 | 24 | 30 | 31 | 32 | 38 | 39 | 40 |
41 | 42 | 43 | |||||||||
44 | b | 45 | |||||||||
46 | 47 | 48 |
fS et fA sont des homomorphismes |
fSA est un homomorphisme |
Im fSA = { (x,y) dans S8 x S12 / sgn( x ) = sgn( y ) } |
Un quadruplet (r, s, x, y) avec r S8, s S12, x {0, 1, 2} 8 et y {0, 1} 12 correspond à une position possible du Rubik's cube si et seulement si :
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Le groupe du Rubik's cube G est le noyau de l'homomorphisme
s : (r, s, x, y) H ----> sgn( r ) x sgn( s ) { -1, 1 } |
G est produit semi-direct de Ker fSA et de Im fSA : G = Ker fSA |x Im fSA |
G H d'indice 2 |
G ' = { g G / sgn( fS( g ) ) = sgn( fA( g ) ) = 1} |
| G ' | = | G | / 2 |
Le centre de G est Z(G) = {1, m490} où m490 est le "superflip" qui fait pivoter tous les cubes-arêtes et laisse invariants les cubes-sommets. |