Théorie des groupes et Rubik's cube

Introduction et rappels   Notations   Cardinal du groupe   Ordres des éléments du groupe   Générateurs du groupe du cube   Structure du groupe   Groupe dérivé du groupe   Centre du groupe   Sous-groupes du Rubik's cube   Bibliographie

Introduction et rappels  

• Une manoeuvre suivie d'une autre manoeuvre est encore une manoeuvre.
  (On dit que l'ensemble des manoeuvres est stable par l'opération "suivie de " ou que cette opération est une opération interne à l'ensemble des manoeuvres)
• L'opération "suivie de " est associative : la manoeuvre 1 suivie de la manoeuvre 2, suivie de la manoeuvre 3 est la même que la manoeuvre 1, suivie de la manoeuvre 2 suivie de la manoeuvre 3
  ( Pour bien comprendre, attention à la place de la virgule !)
• La manoeuvre qui consiste à ne rien faire ne fait rien ... On l'appelle la manoeuvre identité.
• Chaque manoeuvre peut être faite à l'envers. On obtient alors la manoeuvre inverse.
  (En composant une manoeuvre et son inverse, on obtient le manoeuvre identité)

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Notations  

les démonstrations seront écrites de cette couleur

Pour les manipulations du cube, les notations utilisées sont la traduction française des notations anglaises standards de David Singmaster, qu'il faut avoir à l'esprit (si vous avez besoin de comprendre les sites en anglais).

On note respectivement pour les faces avant, postérieure, gauche, droite, haut et bas :
a, p, g, d, h et b, la manipulation qui consiste en un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre de la face
a^-1, p^-1, g^-1, d^-1, h^-1 et b^-1  ou indifféremment  a', p', g', d', h' et b', la manipulation qui consiste en un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de la face.
a², p², g², d², h² et b², la manipulation qui consiste en un demi-tour de la face.

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Cardinal du groupe du Rubik's cube et ordre des éléments  

G est le groupe des manipulations du Rubik's cube

Cardinal du groupe G

card G = 8! x 37 x 12! x 210 = 43 252 003 274 489 856 000

Explication (Nouvelle fenêtre)


Facteurs premiers de card ( G )

card G = 11 x 72 x 53 x 314 x 227

Le plus grand facteur premier de card( G ) est 11.

Remarque : on a le théorème suivant, valable pour tous les cubes de Rubik 2x2x2, 3x3x3, 4x4x4, ...,

Le plus grand facteur premier du nombre de permutations d'un cube NxNxN est le plus grand nombre premier inférieur ou égal à la longueur du plus grand cycle possible de pièces du cube.

Dans le cas du cube 3x3x3, le plus grand cycle possible est celui des cubes-arêtes qui est de longueur 12 donc le plus grand facteur premier de card( G ) est donc 11.


Produit du cardinal de deux sous-groupes importants

On note :

• F_A l'ensemble des facettes des cubes-arêtes (card F_A = 12 x 2 = 24),
• F_S l'ensemble des facettes des cubes-sommets (card F_S = 8 x 3 = 24),
• H_A le groupe des manipulations du Rubik's cube qui n'affecte que les cubes-arêtes , c'est-à-dire le stabilisateur de l'ensemble F_S : H_A = Stab ( F_S ) = { g dans G / pour tout f_S dans F_S, g ( f_S ) = f_S }
• H_S le groupe des manipulations du Rubik's cube qui n'affecte que les cubes-sommets , c'est-à-dire le stabilisateur de l'ensemble F_A : H_S = Stab ( F_A ) = { g dans G / pour tout f_A dans F_A, g ( f_A ) = f_A }

On a card H_A = 980 995 276 800    et   card H_S = 88 179 840

card( G ) =card( HS ) x card( HA ) / 2

En effet, G n'est pas isomorphe au produit direct H_A x H_S mais à un quotient d'indice 2.
L'explication détaillée se trouve plus loin et s'explique en deux mots en disant que un élément (x,y) de H_A x H_S provient d'un élément de G ssi x et y sont, en tant que permutations des cubes et non des facettes, de même signature (i.e toutes les deux paires ou toutes les deux impaires)
Par exemple, un élément de H_A x H_S peut permuter deux CS sans rien changer d'autre , ce qui est impossible par un élément de G. Autre exemple, un élément de H_A x H_S peut permuter deux CS et permuter trois CA, ce qui est impossible par un élément de G.

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Ordres des éléments du groupe  

Ordres possibles des éléments de G

Rappel : l'ordre d'un élément (ici, un mouvement du Rubik's cube) est le nombre de fois qu'il faut effectuer le mouvement pour revenir à la position initiale. En termes de théorie des groupes, l'ordre d'un élément x d'un groupe est le plus petit entier n tel que xⁿ soit l'élément neutre.

Il y 73 ordres différents pour les éléments de G.

  Cliquez ici pour voir
tous les ordres possibles des éléments du groupe du Rubik's cube et pour chaque ordre un élément de longueur minimale

Il y a des éléments d'ordres premiers : 2, 3, 5, 7 et 11. Ce sont les seuls facteurs premiers de  card G.
Il y a des éléments d'ordres petits : 2, 3, 4, 5, 6.
Il y a des éléments d'ordres grands, par exemples : 99, 105, 231, 315, 1260.


Elément d'ordre maximal

Le plus grand ordre possible d'un élément du groupe du Rubik's cube est 1260.

Le mouvement de Butler    d a² p^-1 h p^-1    est un élément d'ordre 1260.

Quelques détails :
Au bout de 15 Butler (j'ai pas dit Buckler ! Au bout de 15 Buckler, on a juste fortement envie de pisser ...) les 8 CS sont à leur place, mais pas forcément bien orientés. Ils sont en place et bien orientés au bout de 45 Butler.
Après 14 mouvements de Butler, les 12 CA sont à leur place, mais pas forcément bien orientés. Il faut 28 Butler pour les ranger tous correctement.
L'ordre du mouvement de Butler est donc le plus petit nombre qui réunissent les conditions sur les CS et les CA. C'est le PPCM de 45 et de 28, sot 1260.

Eléments d'ordre 2

a², p², d², g², h² et b² sont évidemment des éléments d'ordre 2.

Les manoeuvres qui ont pour effet une permutation de deux paires de cubes (un produit de deux transpositions à supports disjoints) sont d'ordre 2.

Exemples :

Echange de deux paires de CS agh <--> adh , pgh <--> pdh	"Manoeuvre des 6"
a (dhd'h')3 a'	d2h2d2h2d2h2

Les manoeuvres qui ont pour effet un pivotement d'un certain nombre (obligatoirement pair) de CA sur eux-mêmes sans rien changer d'autre sont d'ordre 2.

Exemples :

Le superflip également appellé le centre qui fait pivoter tous les CA sans rien changer d'autre :

dg b² p' g²a²d² h'bd b² a'p'b' a² b' d² h' a² b'

Rubik	Thistelthwaite
h2.gd'.a.gd'.b.gd'.p2.dg'.b.dg'.a.dg'	d'h2d2hd'h'd'h2gada'g'

Eléments d'ordre 3
Les permutations circulaires de trois CA ou de trois CS (3-cycles) sont des éléments d'ordre 3.
Les manoeuvres qui consistent à réorienter deux ou trois CS sont d'ordre 3.

2-twist	2-twist bis	3-twist
d'b db' d'bd . h' . d'b'd bd'b'd . h	hp'h'g'p'g.a2.g'pghph'.a2	(ad'a'd.dh'dh.ha'h'a)2

Eléments d'ordre 4
d est un élément d'ordre 4.
a est un élément d'ordre 4.
Evidemment, les autres quarts de tour de face sont aussi des éléments d'ordre 4.

Eléments d'ordre 6
a²d² est un élément d'ordre 6.
Le 12-flip + 8-twist qui fait pivoter tous les cubes-arêtes et tous les cubes-sommets est un élément d'ordre 6 :

b a² h' p²d² p²d² gp'b'a b² a p² ha' dg h² a'

Elément d'ordre 7
Un élément d'ordre 7 engendre un sous-groupe cyclique (puisque 7 est premier) donc un élément d'ordre 7 est un 7-cycle (sur les cubes-arêtes).

Le mouvement   (hd)¹⁵est un un élément d'ordre 7. C'est un cycle sur 7 CA en 30 quarts de tour de faces.

Un équivalent en moins de coups est : h'd h'd' h'd h²d'hd'h²dh'd' h'd h'd

Elément d'ordre 11
Un élément d'ordre 11 engendre un sous-groupe cyclique (puisque 11 est premier) donc un élément d'ordre 11 est un 11-cycle (sur les cubes-sommets).

Le mouvement   ( g²pdb^-1g^-1)⁷   est un un élément d'ordre 11. C'est un cycle sur 11 CS en 35 quarts de tour de faces.

Un équivalent en moins de coups est : a²d^-1hb^-1p^-1bg^-1h^-1bpgbp²h²b²d²p²b

Elément d'ordre 105
ad est un élément d'ordre 105 !

Quelques explications :
Comme on peut le lire à la section générateurs du groupe, en numérotant les facettes des petits cubes, on a
a := (17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11),
d := (25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)( 8,33,48,24),

Et après quelques calculs sur les permutations, on obtient la décomposition de ad (c'est-à-dire a ° d en termes de permutations) en produit de cycles à supports disjoints :
ad = (3, 38, 16, 6, 25, 27, 32, 41, 11, 8, 33, 48, 22, 17, 19)(5, 36, 45, 23, 20, 18, 21)(7, 28, 26, 29, 31, 42, 13)(24, 30, 43)
Puisque des cycles à supports disjoints commutent, l'ordre d'un produit de tels cycles est le PPCM des ordres des cycles.
D'où : o( ad) = PPCM ( 15, 7, 7, 3 ) = 3 x 5 x 7 = 105

Elément d'ordre 99
ad²bg² est un élément d'ordre 99  (99 = 11 x 3 x 3).

Elément d'ordre 231
apdb^-1 est un élément d'ordre 231  (non-premier : 231 = 11 x 7 x 3)

Elément d'ordre 315
adpg, appelé Furball (adpg en notations anglaises : frbl ) est un élément d'ordre 315.

Quelques explications sur celui-là : voici les effets de mouvements Furball successifs sur le cube.

Face Haut
• (Furball)³ : tous les CS de la face Haut sont en place.
• (Furball)⁵ : tous les CA de la face Haut sont en place.
• (Furball)¹⁵ : la face Haut est restaurée
  
  Tranche du milieu
• (Furball)⁵ : le CA 'GA' est à sa place
• (Furball)⁷ : les CA 'DA' , 'GP' et 'DP' sont à leurs places
• (Furball)³⁵ : la tranche du milieu est restaurée.
  
  Face bas
• (Furball)⁷ : les CA de la face Bas sont en place
• (Furball)⁹ : les CS de la face Bas sont en place
• (Furball)⁶³ : la face Bas est restaurée.

Ainsi, l'ordre du Furball est le PPCM de 15, 35 et 63 , c'est-à-dire 3x3x5x7 = 315

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Générateurs du groupe du Rubik's cube  

Le groupe G est engendré par les rotations élémentaires d'un quart de tour des faces : G = < a, p, h, b, g, d >

On numérote les facettes du cube de 1 à 48. On peut ainsi considérer le groupe du cube comme un sous-groupe de S₄₈

			1	2	3
			4	h	5
			6	7	8
9	10	11	17	18	19	25	26	27	33	34	35
12	g	13	20	a	21	28	d	29	36	p	37
14	15	16	22	23	24	30	31	32	38	39	40
			41	42	43
			44	b	45
			46	47	48

Les générateurs de base décomposés en produit de cycles à supports disjoints :

a := (17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11),

p := (33,35,40,38)(34,37,39,36)( 3, 9,46,32)( 2,12,47,29)( 1,14,48,27),

g := ( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)( 6,22,46,35),

d := (25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)( 8,33,48,24),

h := ( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)(11,35,27,19),

b := (41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)(16,24,32,40).

Remarque : Il existe des ensembles générateurs du groupe à moins de 6 éléments.

1. Les 5 générateurs a, g, d, h et p engendrent le générateur b : on a   b = P h P où P = d g' a² p² d g'.
   On a donc G = < a, p, h, g, d >
2. Il y a mieux !   G = < m₉₉₁, m₉₉₂>    où m₉₉₁ = hpghg'h'p' et m₉₉₂ = d²agb'd'

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Structure du groupe du Rubik's cube  

• Rappel : CA et CS sont des abréviations de cube-arête et de cube-sommet
  
• Pour plus de clarté,
     les notations et définitions seront écrites de cette couleur,
     les résultats et théorèmes seront écrits de cette couleur
     et les démonstrations seront écrites de cette couleur

L'homomorphisme f_SA

On pose
f_S : g dans G --> g_S dans S₈        où g_S est la permutation des CS induite par g

On peut dire qu'à travers f_S , on considère une manipulation du Rubik cube comme une simple permutation des CS, sans s'occuper des couleurs des facettes.

f_A : g dans G --> g_A dans S₁₂        où g_A est la permutation des CA induite par g

On peut dire que à travers f_A , on considère une manipulation du Rubik cube comme une simple permutation des CA, sans s'occuper des couleurs des facettes.

fS et fA sont des homomorphismes

On pose f_SA : g dans G --> (g_S, g_A) dans S₈ x S₁₂

fSA est un homomorphisme

Image de l'homomorphisme f_SA : Im f_SA

On note sgn(p) la signature d'une permutation p

Im fSA = { (x,y) dans S8 x S12 / sgn( x ) = sgn( y ) }

En d'autres termes : l'image de f_SA est l'ensemble des couples de permutations de S₈ x S₁₂ qui ont la même signature (i.e toutes les deux paires ou toutes les deux impaires)

Remarque : Voila l'explication de quelques choses que tous les Rubikcubistes savent bien.

• On ne peut pas permuter uniquement deux CS.
  En effet, soit g dans G qui permute deux CS et laisse tous le reste du cube inchangé, alors g_S est une transposition (un échange de deux CS) et g_A est l'identité. On a alors sgn (g_S) = -1 et sgn (g_A) = 1, ce qui est impossible.
• On ne peut pas permuter uniquement deux CA : l'explication est identique à la précedente.

DEMONSTRATION

Posons E = { (x,y) dans S₈ x S₁₂ / sgn( x ) = sgn( y ) }
On doit montrer que Im f_SA = E

1°) Démontrons que Im f_SAest inclus dans E

On pose s : (x,y) dans S₈ x S₁₂ --> sgn( x ) x sgn( y ) dans {-1 ; 1}
Lemme : s est un homomorphisme   (c'est évident...)

Il faut donc montrer que pour tout g dans G,   s( f_SA( g ) ) = 1

* Soit h dans G un quart de tour d'une face, h_S est un 4-cycle sur 4 CS et h_A est un 4-cycle sur 4 CA,
donc  sgn( h_S ) = sgn( h_A ) = (-1)^4-1 = -1     (Rappel : sgn ( cycle ) = (-1)^{longueur du cycle - 1} )
donc   s( f_SA( h ) ) = s ( h_S , h_A ) = (-1) x (-1) = 1    pour tout quart de tour h

* Soit g dans G quelconque, g est un produit d'un certain nombre de quarts de tour :    g = h₁ x h₂ x ... x h_n où h_i est un quart de tour d'une face
f_SA( g ) = f_SA( h₁) x f_SA h₂ ) x ... x f_SA (h_n )    car f_SA est un homomorphisme de groupes
s( f_SA( g ) ) = s( f_SA( h₁) ) x s( f_SA h₂ ) ) x ... x s( f_SA (h_n ) )    car s est un homomorphisme de groupes
s( f_SA( g ) ) = 1 x 1 x ... x 1     car s( f_SA( h ) ) pour tout quart de tour h
donc   s( f_SA( g ) ) = 1

On a donc pour tout g dans G,   s( f_SA( g ) ) = 1


2°) Réciproquement : E = { (x,y) dans S₈ x S₁₂ / sgn( x ) = sgn( y ) } est inclus dans Im f_SA

En d'autres termes : est-ce que tout élément de E provient d'un élément de G par f_SA ?

On doit montrer que pour tout  ( x ; y ) dans E, il existe g dans G tel que g_S = x et g_A = y

* Soit (x,y) dans S₈ x S₁₂ / sgn( x ) = sgn( y ) = 1   i.e   (x,y) dans A₈ x A₁₂

On connaît un élément g de G qui est un 3-cycle sur 3 CS de la face supérieure et qui ne change rien d'autre .
En particulier, g laisse les CA à leurs places, i.e   g est dans H_S = Stab ( F_A ) = {g dans G / pour tout s dans F_S, g( s )= s}
On connaît alors un élément de G qui est un 3-cycle sur 3 CS quelconques : il suffit d'amener les 3 CS en question sur la face supérieure à l'aide d'une manipulation b, d'appliquer g puis b^-1 et  b g b^-1 est un 3-cycle sur les 3 CS.

Donc pour tout 3-cycle c de A₈ , il existe g dans G tel que  g_S = c .
Or, on a le résultat général suivant : pour n>2, A_n est engendré par les 3-cycles,
donc pour tout élément x de A₈ , il existe g dans H_S tel que  g_S = x

De même, on connaît un élément g de G qui est un 3-cycle sur 3 CA de la face supérieure et qui ne change rien d'autre , i.e g est dans H_A = Stab ( F_S ).
Et ainsi on peut montrer que : pour tout élément y de A₁₂ , il existe h dans H_A tel que  h_A = y

On a donc :
pour tout (x,y) dans A₈ x A₁₂ , il existe g dans H_A et h dans H_S tels que g_S = x et h_A = y

Alors :
g dans H_S donc g_A = 1 donc f_SA( g ) = ( g_S , 1 ) = ( x ,1 )
h dans H_A donc h_S = 1 donc f_SA( h ) = (1 , h_A ) = ( 1 , y )
f_SA est un homomorphisme donc f_SA( gh ) = f_SA( g ) x f_SA( h ) = ( x ,1 ) ( 1 , y ) = ( x , y )
En posant   k = gh, on a f_SA( k ) = ( x , y )
donc ( x , y ) appartient à Im f_SA
donc A₈ x A₁₂ est inclus dans Im f_SA

* (x,y) dans S₈ x S₁₂ / sgn( x ) = sgn( y ) = -1

Soit q un quart de tour d'une face et (q_S , q_A) = f_SA( q )
alors sgn ( q_S ) = sgn( q_A ) = (-1)³ = -1 (q_S ) et q_A sont des 4-cycles)
(xq_S, yq_A) est dans A₈ x A₁₂ donc il existe k dans G tel que f_SA( k ) = (xq_S, yq_A)
Alors : f_SA( kq^-1 ) =f_SA( k ) f_SA( q^-1 ) = (xq_S, yq_A) ( q_S^-1 , q_A^-1 ) = ( x , y )
donc ( x , y ) appartient à Im f_SA

FIN DE LA DEMONSTRATION


Noyau de l'homomorphisme f_SA : Ker f_SA

Ker f_SA = { g dans G / g_S = g_A = 1} , c'est-à-dire l'ensemble des manipulations du cube qui ne bouge aucun CA ni CS, c'est-à-dire les manipulations qui ne font que pivoter des CA ou des CS sur eux-mêmes.

On identifie chaque g G avec le quadruplet ( f_S( g ) , f_A( g ), x_g, y_g ) où x_g et y _g sont les "orientations" définies ci-dessous.
Supposons que le cube soit fixé dans l'espace en position résolue.
Pour chaque sous-cube mobile (CS ou CA), on choisit une fois pour toutes une facette sur ce sous-cube et on marque cette facette avec un '+' .
Il y a trois possibilités pour un CS et deux possibilités pour un CA. Le choix est arbitraire mais sans importance : ce qui sera important sera le changement global intervenu sur ces '+'.
On numérote les CS de 1 à 8 et les CA de 1 à 12.
Alors, pour chaque g dans G, on observe la configuration du cube après la manipulation g.

Pour chaque CS, on note

• un '0' si la facette '+' de ce CS dans sa position actuelle coïncide avec la facette '+' du même CS du cube résolu.
• un '1' si la facette '+' de ce CS dans sa position actuelle a subi une rotation de 120° autour du sommet par rapport à la facette '+' du même CS du cube résolu.
• un '2' sinon.

On obtient ainsi un 8-uplet de '0' , '1' et de '2' : x_g = (x₁, ... , x₈) où chaque x_i mesure le changement d'orientation du CS n° i

Pour chaque CA, on note

• un '0' si la facette '+' de ce CA dans sa position actuelle coïncide avec la facette '+' du même CA du cube résolu.
• un '1' sinon.

On obtient ainsi un 12-uplet de '0' et de '1' : y_g = (y₁, ... , y₈) où chaque y_i mesure le changement d'orientation du CA n° i

Une explication plus imagée :
On place le cube en position résolue.
On numérote les CS de 1 à 8 et les CA de 1 à 12.
Pour chaque sous-cube mobile (CS ou CA), on choisit une fois pour toutes une facette sur ce sous-cube et on marque cette facette avec un '+' .
On prend une photographie du cube résolu.
On effectue la manipulation g et on prend une photographie du cube ainsi obtenu.
On note le changement des facettes '+' de chacun des CS de 1 à 8 (un '0' si elle n'a pas changé, un '1' si elle a tourné de +120° et un '2' si elle a tourné de -120°)
On note le changement des facettes '+' de chacun des CA de 1 à 12 (un '0' si elle n'a pas changé, un '1' si elle a changé).

Exemple : S on marque toutes les facettes de la face avant avec un '+', le monoswap aba²b²a²b^-1a^-1 qui permute les Cs ahd et ahg, en pivotant le CS ahd de 120° dans le sens des aiguilles d'une montre et le CS ahg de 120° dans le sens contraire des aiguilles d'une montre ( cette manipulation affecte aussi d'autres parties du cube).
Cette manipulation donne un '1'pour le CS ahd et un '2' pour le CS ahg.


Structure du groupe du Rubik's cube G

Théorème :

Un quadruplet (r, s, x, y) avec r S8, s S12, x {0, 1, 2} 8 et y {0, 1} 12 correspond à une position possible du Rubik's cube si et seulement si : sgn( s ) = sgn( r )        (même parité des permutations sur les CS et les CA) x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3)        (conservation de l'orientation totale des CS) y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2)        (conservation de l'orientation totale des CA)

Soit H = { (r, s, x, y) avec r S₈, s S₁₂, x {0, 1, 2} ⁸, x₁ + x₂ + ... + x₈ = 0 (mod 3), y {0, 1} ¹², y₁ + y₂ + ... + y₁₂ = 0 (mod 2) }

L'opération (r, s, x, y) * (r ', s ', x ', y ') = ( r * r ', s * s', x + r(x ' ), y + s( y') ) définit une structure de groupe sur H.


Théorème :

Le groupe du Rubik's cube G est le noyau de l'homomorphisme s : (r, s, x, y) H ----> sgn( r ) x sgn( s ) { -1, 1 }

STRUCTURE DU GROUPE DU RUBIK'S CUBE :

G est produit semi-direct de Ker fSA et de Im fSA    : G = Ker fSA |x Im fSA

C'est-à-dire :
G = { (r, s, x, y) avec r S₈, s S₁₂ / sgn( r ) = sgn( s ), x {0, 1, 2} ⁸ / x₁ + x₂ + ... + x₈ = 0 (mod 3), y {0, 1} ¹² / y₁ + y₂ + ... + y₁₂ = 0 (mod 2) }
Muni de l'opération (de produit-semi-direct) : (r, s, x, y) * (r ', s ', x ', y ') = ( r * r ', s * s', x + r(x ' ), y + s( y') )


Corollaire :

G H d'indice 2

Démonstration du corollaire :
G est distingué dans H car G = Ker s et un noyau d'homomorphisme est toujours distingué.
G est d'indice 2 car H / Ker s Im s soit H / G {-1 ; 1}

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Groupe dérivé du groupe du Rubik's cube  

On note G' le groupe dérivé de G, i.e le groupe engendré par les commutateurs [ x , y ] = xyx^-1y^-1

G ' = <{ [ x , y ] = xyx^-1y^-1   , x G, y G }> , .


Théorème :

G ' = { g G / sgn( fS( g ) ) = sgn( fA( g ) ) = 1}

C'est-à-dire : G' est le noyau de l'homomorphisme s' : g G ----> ( sgn( f_S( g ) ) , sgn( f_A( g ) ) { (-1 ; -1) ; (1 ; 1)}

D'après le premier théorème d'isomorphisme, G / Ker s' Im s' , donc il s'ensuit immédiatement

Corollaire :

| G ' | = | G | / 2

G / Ker s' Im s' soit G / G' { (-1 ; -1) ; (1 ; 1)} d'où | G / G' | = 2

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Centre du groupe du Rubik's cube  

Rappel : le centre d'un groupe est l'ensemble des éléments du groupe qui commutent avec tous les autres.
Le centre d'un groupe G est noté Z(G).
Z(G) = { g G tels que pour tout h G, hg=gh}
ou encore Z(G) = { g G tels que pour tout h G, hgh^-1=g} i.e l'ensemble des éléments g qui sont leur propre conjugué.

Le centre de G est Z(G) = {1, m490} où m490 est le "superflip" qui fait pivoter tous les cubes-arêtes et laisse invariants les cubes-sommets.

m₄₉₀ = dga phb dga pha² (MR) a²h' (MR)² p² (MR)' p² h (MR)² b
avec   MR = "middle right quarter turn" = 1/4 de tour de la tranche de droite (celle qui coupe verticalement la face avant)

DEMONSTRATION
Il faut rappeler la structure du groupe G qui est obtenu par produit semi-direct :

G est produit semi-direct de Ker f_SA et de Im f_SA    : G = Ker f_SA |x Im f_SA

C'est-à-dire :
G = { (r, s, x, y) avec r S₈, s S₁₂ / sgn( r ) = sgn( s ), x {0, 1, 2} ⁸ / x₁ + x₂ + ... + x₈ = 0 (mod 3), y {0, 1} ¹² / y₁ + y₂ + ... + y₁₂ = 0 (mod 2) }
Muni de l'opération (de produit-semi-direct) : (r, s, x, y) * (r ', s ', x ', y ') = ( r * r ', s * s', x + r(x ' ), y + s( y') )

Pour cette loi, l'inverse d'un élément (r, s, x, y) est (r^-1, s^-1 , r^-1(-x), s^-1(-y) )

On cherche donc g = (r, s, x, y) tel que pour tout h = ( r', s', x', y') , on ait : h*g*h^-1 = g
soit ( r', s', x', y') * (r, s, x, y) * (r' ^-1, s' ^-1 , r' ^-1(-x'), s' ^-1(-y') ) = (r, s, x, y)
soit ( r' * r * r' ^-1, s' * s * s' ^-1, x' + r'(x) + r' ( r ( r'^-1(-x') )), y' + s' (y) + s' ( s ( s' ^-1 (-y') )) ) = (r, s, x, y)

On en déduit que

• r' * r * r' ^-1 = r soit r Z(S₈)
• s' * s * s' ^-1= s soit s Z(S₁₂)
• x' + r'(x) + r' ( r ( r'^-1(-x') )) = x
• y' + s' (y) + s' ( s ( s' ^-1 (-y') )) ) = (r, s, x, y) = y

Or pour tout n > 2, Z(S_n) = { 1 }, donc
On en déduit que

• r = 1
• s = 1
• r'(x) = x pour tout r' S₈ d'où x = (0, ... , 0) ou x = (1, ..., 1) ou x = (2, ..., 2) ( rappel : x {0, 1, 2} ⁸)
• s'(y) = y pour tout s' S₁₂ d'où y = (0, ... , 0) ou y = (1, ..., 1) ( rappel : y {0, 1} ¹²)

Mais comme x et y doivent vérifier les conditions :
x₁ + x₂ + ... + x₈ = 0 (mod 3) et y₁ + y₂ + ... + y₁₂ = 0 (mod 2) ,
on en déduit que

• x = (0, ... , 0)
• y = (0, ... , 0) ou y = (1, ..., 1)

Donc g = (r, s, x, y) = (1, 1, (0, ... , 0), (0, ... , 0)) = 1_G ou g = (r, s, x, y) = (1, 1, (0, ... , 0), (1, ..., 1) ) qui est le superflip.
donc le centre de G est Z(G) = {1, Superflip}

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Bibliographie  

Bibliographie

Domain of the cube : le site de Mark Longridge's , un fervent Cube Lover (des articles de théorie des groupes)

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