Théorie des groupes et Rubik's cube

- " What's commutative and purple ?
- " An Abelian grape "

  Introduction et rappels
  Notations
  Cardinal du groupe
  Ordres des éléments du groupe
  Générateurs du groupe du cube
  Structure du groupe
  Groupe dérivé du groupe
  Centre du groupe
  Sous-groupes du Rubik's cube
  Bibliographie




Introduction et rappels  
Je ne suis pas un spécialiste de la théorie des groupes, mais plutôt un amateur éclairé dans ce secteur.
Dans cette page, j'ai regroupé des résultats trouvés ici et là, que j'ai traduits, adaptés et retravaillés, parfois complétés et démontrés mais pas toujours !
Ainsi, beaucoup de résultats étaient et restent sans démonstrations.


Je suppose connus les rudiments de la théorie des groupes (niveau de licence de mathématiques), en particulier : homorphismes, noyaux, groupes quotients, groupes symétriques et alternés, signature d'une permutation, opération d'un groupe sur un ensemble, produits de groupes (direct, semi-direct).

Pour les initiés de la théorie des groupes, il y a sur cette page le maximum de renseignements que j'ai réunis à propos du groupe de permutations du Rubik's cube : ordre du groupe et des éléments, systèmes de générateurs, centre, groupe dérivé, d'autres sous-groupes et structure du groupe.

Pour les initiés mais qui ne se souviennent plus bien, vous pouvez éventuellement vous rafraîchir la mémoire ou compléter quelques oublis, lacunes, trous, fossés, ... :
Théorie des groupes : un cours , en PDF, par Christian Squarcini.
Théorie des groupes : un cours qui a pour but d'aborder la théorie de Galois (en HTML). Par Serge Hublau
Théorie des groupes : le même cours en PDF.

Pour les non-initiés, voici quelques pistes pour comprendre ce qu'est un groupe en mathématiques et le rapport entre le Rubik's cube et la théorie des groupes.

Si on considère les manoeuvres du Rubik's cube, on peut observer que : Voila ce qui fait de l'ensemble des manoeuvres du Rubik's cube une structure algébrique que l'on appelle un groupe.

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Notations  
On notera G le groupe des manipulations du Rubik's cube, c'est-à-dire le groupe des permutations des 48 facettes mobiles du Rubik's cube. G est un sous-groupe de S48.

CA et CS sont des abréviations de cube-arête et de cube-sommet.

Pour plus de clarté :
  • les notations et définitions seront écrites de cette couleur,
  • les résultats et théorèmes seront écrits de cette couleur
  • les démonstrations seront écrites de cette couleur

    Pour les manipulations du cube, les notations utilisées sont la traduction française des notations anglaises standards de David Singmaster, qu'il faut avoir à l'esprit (si vous avez besoin de comprendre les sites en anglais).

    On note respectivement pour les faces avant, postérieure, gauche, droite, haut et bas :
    a, p, g, d, h et b, la manipulation qui consiste en un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre de la face
    a-1, p-1, g-1, d-1, h-1 et b-1  ou indifféremment  a', p', g', d', h' et b', la manipulation qui consiste en un quart de tour dans le sens inverse des aiguilles d'une montre de la face.
    a2, p2, g2, d2, h2 et b2, la manipulation qui consiste en un demi-tour de la face.


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    Cardinal du groupe du Rubik's cube et ordre des éléments  
    G est le groupe des manipulations du Rubik's cube

    Cardinal du groupe G

    card G = 8! x 37 x 12! x 210 = 43 252 003 274 489 856 000

    Explication (Nouvelle fenêtre)


    Facteurs premiers de card ( G )

    card G = 11 x 72 x 53 x 314 x 227

    Le plus grand facteur premier de card( G ) est 11.

    Remarque : on a le théorème suivant, valable pour tous les cubes de Rubik 2x2x2, 3x3x3, 4x4x4, ...,

    Le plus grand facteur premier du nombre de permutations d'un cube NxNxN est le plus grand nombre premier inférieur ou égal à la longueur du plus grand cycle possible de pièces du cube.

    Dans le cas du cube 3x3x3, le plus grand cycle possible est celui des cubes-arêtes qui est de longueur 12 donc le plus grand facteur premier de card( G ) est donc 11.


    Produit du cardinal de deux sous-groupes importants

    On note :
    • FA l'ensemble des facettes des cubes-arêtes (card FA = 12 x 2 = 24),
    • FS l'ensemble des facettes des cubes-sommets (card FS = 8 x 3 = 24),
    • HA le groupe des manipulations du Rubik's cube qui n'affecte que les cubes-arêtes , c'est-à-dire le stabilisateur de l'ensemble FS : HA = Stab ( FS ) = { g dans G / pour tout fS dans FS, g ( fS ) = fS }
    • HS le groupe des manipulations du Rubik's cube qui n'affecte que les cubes-sommets , c'est-à-dire le stabilisateur de l'ensemble FA : HS = Stab ( FA ) = { g dans G / pour tout fA dans FA, g ( fA ) = fA }

    On a card HA = 980 995 276 800    et   card HS = 88 179 840

    card( G ) =card( HS ) x card( HA ) / 2


    En effet, G n'est pas isomorphe au produit direct HA x HS mais à un quotient d'indice 2.
    L'explication détaillée se trouve plus loin et s'explique en deux mots en disant que un élément (x,y) de HA x HS provient d'un élément de G ssi x et y sont, en tant que permutations des cubes et non des facettes, de même signature (i.e toutes les deux paires ou toutes les deux impaires)
    Par exemple, un élément de HA x HS peut permuter deux CS sans rien changer d'autre , ce qui est impossible par un élément de G. Autre exemple, un élément de HA x HS peut permuter deux CS et permuter trois CA, ce qui est impossible par un élément de G.


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    Ordres des éléments du groupe  
    Ordres possibles des éléments de G

    Rappel : l'ordre d'un élément (ici, un mouvement du Rubik's cube) est le nombre de fois qu'il faut effectuer le mouvement pour revenir à la position initiale. En termes de théorie des groupes, l'ordre d'un élément x d'un groupe est le plus petit entier n tel que xn soit l'élément neutre.

    Il y 73 ordres différents pour les éléments de G.

      Cliquez ici pour voir
    tous les ordres possibles des éléments du groupe du Rubik's cube et pour chaque ordre un élément de longueur minimale

    Il y a des éléments d'ordres premiers : 2, 3, 5, 7 et 11. Ce sont les seuls facteurs premiers de  card G.
    Il y a des éléments d'ordres petits : 2, 3, 4, 5, 6.
    Il y a des éléments d'ordres grands, par exemples : 99, 105, 231, 315, 1260.


    Elément d'ordre maximal

    Le plus grand ordre possible d'un élément du groupe du Rubik's cube est 1260.

    Le mouvement de Butler    d a2 p-1 h p-1    est un élément d'ordre 1260.

    Quelques détails :
    Au bout de 15 Butler (j'ai pas dit Buckler ! Au bout de 15 Buckler, on a juste fortement envie de pisser ...) les 8 CS sont à leur place, mais pas forcément bien orientés. Ils sont en place et bien orientés au bout de 45 Butler.
    Après 14 mouvements de Butler, les 12 CA sont à leur place, mais pas forcément bien orientés. Il faut 28 Butler pour les ranger tous correctement.
    L'ordre du mouvement de Butler est donc le plus petit nombre qui réunissent les conditions sur les CS et les CA. C'est le PPCM de 45 et de 28, sot 1260.

    Eléments d'ordre 2

    a2, p2, d2, g2, h2 et b2 sont évidemment des éléments d'ordre 2.

    Les manoeuvres qui ont pour effet une permutation de deux paires de cubes (un produit de deux transpositions à supports disjoints) sont d'ordre 2.

    Exemples :
    Echange de deux paires de CS
    agh <--> adh , pgh <--> pdh
    "Manoeuvre des 6"
    a (dhd'h')3 a' d2h2d2h2d2h2

    Les manoeuvres qui ont pour effet un pivotement d'un certain nombre (obligatoirement pair) de CA sur eux-mêmes sans rien changer d'autre sont d'ordre 2.

    Exemples :
  • La manoeuvre de Rubik : h2.gd'.a.gd'.b.gd'.p2.dg'.b.dg'.a.dg'
  • La manoeuvre de Thistlethwaite : d'h2d2hd'h'd'h2gada'g'
  • Le superflip également appellé le centre qui fait pivoter tous les CA sans rien changer d'autre :
    dg b2 p' g2a2d2 h'bd b2 a'p'b' a2 b' d2 h' a2 b'

    Rubik Thistelthwaite
    h2.gd'.a.gd'.b.gd'.p2.dg'.b.dg'.a.dg' d'h2d2hd'h'd'h2gada'g'


    Eléments d'ordre 3
    Les permutations circulaires de trois CA ou de trois CS (3-cycles) sont des éléments d'ordre 3.
    Les manoeuvres qui consistent à réorienter deux ou trois CS sont d'ordre 3.
    2-twist 2-twist bis 3-twist
    d'b db' d'bd . h' . d'b'd bd'b'd . h hp'h'g'p'g.a2.g'pghph'.a2 (ad'a'd.dh'dh.ha'h'a)2


    Eléments d'ordre 4
    d est un élément d'ordre 4.
    a est un élément d'ordre 4.
    Evidemment, les autres quarts de tour de face sont aussi des éléments d'ordre 4.

    Eléments d'ordre 6
    a2d2 est un élément d'ordre 6.
    Le 12-flip + 8-twist qui fait pivoter tous les cubes-arêtes et tous les cubes-sommets est un élément d'ordre 6 :
    b a2 h' p2d2 p2d2 gp'b'a b2 a p2 ha' dg h2 a'

    Elément d'ordre 7
    Un élément d'ordre 7 engendre un sous-groupe cyclique (puisque 7 est premier) donc un élément d'ordre 7 est un 7-cycle (sur les cubes-arêtes).

    Le mouvement   (hd)15est un un élément d'ordre 7. C'est un cycle sur 7 CA en 30 quarts de tour de faces.

    Un équivalent en moins de coups est : h'd h'd' h'd h2d'hd'h2dh'd' h'd h'd

    Elément d'ordre 11
    Un élément d'ordre 11 engendre un sous-groupe cyclique (puisque 11 est premier) donc un élément d'ordre 11 est un 11-cycle (sur les cubes-sommets).

    Le mouvement   ( g2pdb-1g-1)7   est un un élément d'ordre 11. C'est un cycle sur 11 CS en 35 quarts de tour de faces.

    Un équivalent en moins de coups est : a2d-1hb-1p-1bg-1h-1bpgbp2h2b2d2p2b

    Elément d'ordre 105
    ad est un élément d'ordre 105 !

    Quelques explications :
    Comme on peut le lire à la section générateurs du groupe, en numérotant les facettes des petits cubes, on a
    a := (17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11),
    d := (25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)( 8,33,48,24),

    Et après quelques calculs sur les permutations, on obtient la décomposition de ad (c'est-à-dire a ° d en termes de permutations) en produit de cycles à supports disjoints :
    ad = (3, 38, 16, 6, 25, 27, 32, 41, 11, 8, 33, 48, 22, 17, 19)(5, 36, 45, 23, 20, 18, 21)(7, 28, 26, 29, 31, 42, 13)(24, 30, 43)
    Puisque des cycles à supports disjoints commutent, l'ordre d'un produit de tels cycles est le PPCM des ordres des cycles.
    D'où : o( ad) = PPCM ( 15, 7, 7, 3 ) = 3 x 5 x 7 = 105

    Elément d'ordre 99
    ad2bg2 est un élément d'ordre 99  (99 = 11 x 3 x 3).

    Elément d'ordre 231
    apdb-1 est un élément d'ordre 231  (non-premier : 231 = 11 x 7 x 3)

    Elément d'ordre 315
    adpg, appelé Furball (adpg en notations anglaises : frbl ) est un élément d'ordre 315.

    Quelques explications sur celui-là : voici les effets de mouvements Furball successifs sur le cube.

    Ainsi, l'ordre du Furball est le PPCM de 15, 35 et 63 , c'est-à-dire 3x3x5x7 = 315

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    Générateurs du groupe du Rubik's cube  
    Le groupe G est engendré par les rotations élémentaires d'un quart de tour des faces : G = < a, p, h, b, g, d >

    On numérote les facettes du cube de 1 à 48. On peut ainsi considérer le groupe du cube comme un sous-groupe de S48

    123
    4h5
    678
    91011171819252627333435
    12g1320a2128d2936p37
    141516222324303132383940
    414243
    44b45
    464748

    Les générateurs de base décomposés en produit de cycles à supports disjoints :

    a := (17,19,24,22)(18,21,23,20)( 6,25,43,16)( 7,28,42,13)( 8,30,41,11),

    p := (33,35,40,38)(34,37,39,36)( 3, 9,46,32)( 2,12,47,29)( 1,14,48,27),

    g := ( 9,11,16,14)(10,13,15,12)( 1,17,41,40)( 4,20,44,37)( 6,22,46,35),

    d := (25,27,32,30)(26,29,31,28)( 3,38,43,19)( 5,36,45,21)( 8,33,48,24),

    h := ( 1, 3, 8, 6)( 2, 5, 7, 4)( 9,33,25,17)(10,34,26,18)(11,35,27,19),

    b := (41,43,48,46)(42,45,47,44)(14,22,30,38)(15,23,31,39)(16,24,32,40).


    Remarque : Il existe des ensembles générateurs du groupe à moins de 6 éléments.
    1. Les 5 générateurs a, g, d, h et p engendrent le générateur b : on a   b = P h P où P = d g' a2 p2 d g'.
      On a donc G = < a, p, h, g, d >
    2. Il y a mieux !   G = < m991, m992>    où m991 = hpghg'h'p' et m992 = d2agb'd'

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    Structure du groupe du Rubik's cube  


    L'homomorphisme fSA

    On pose
    fS : g dans G --> gS dans S8        où gS est la permutation des CS induite par g

    On peut dire qu'à travers fS , on considère une manipulation du Rubik cube comme une simple permutation des CS, sans s'occuper des couleurs des facettes.

    fA : g dans G --> gA dans S12        où gA est la permutation des CA induite par g

    On peut dire que à travers fA , on considère une manipulation du Rubik cube comme une simple permutation des CA, sans s'occuper des couleurs des facettes.

    fS et fA sont des homomorphismes


    On pose fSA : g dans G --> (gS, gA) dans S8 x S12

    fSA est un homomorphisme



    Image de l'homomorphisme fSA : Im fSA

    On note sgn(p) la signature d'une permutation p

    Im fSA = { (x,y) dans S8 x S12 / sgn( x ) = sgn( y ) }

    En d'autres termes : l'image de fSA est l'ensemble des couples de permutations de S8 x S12 qui ont la même signature (i.e toutes les deux paires ou toutes les deux impaires)

    Remarque : Voila l'explication de quelques choses que tous les Rubikcubistes savent bien.

    DEMONSTRATION

    Posons E = { (x,y) dans S8 x S12 / sgn( x ) = sgn( y ) }
    On doit montrer que Im fSA = E

    1°) Démontrons que Im fSAest inclus dans E

    On pose s : (x,y) dans S8 x S12 --> sgn( x ) x sgn( y ) dans {-1 ; 1}

    Lemme : s est un homomorphisme   (c'est évident...)

    Il faut donc montrer que pour tout g dans G,   s( fSA( g ) ) = 1

    * Soit h dans G un quart de tour d'une face, hS est un 4-cycle sur 4 CS et hA est un 4-cycle sur 4 CA,
    donc  sgn( hS ) = sgn( hA ) = (-1)4-1 = -1     (Rappel : sgn ( cycle ) = (-1)longueur du cycle - 1 )
    donc   s( fSA( h ) ) = s ( hS , hA ) = (-1) x (-1) = 1    pour tout quart de tour h

    * Soit g dans G quelconque, g est un produit d'un certain nombre de quarts de tour :    g = h1 x h2 x ... x hn où hi est un quart de tour d'une face
    fSA( g ) = fSA( h1) x fSA h2 ) x ... x fSA (hn )    car fSA est un homomorphisme de groupes
    s( fSA( g ) ) = s( fSA( h1) ) x s( fSA h2 ) ) x ... x s( fSA (hn ) )    car s est un homomorphisme de groupes
    s( fSA( g ) ) = 1 x 1 x ... x 1     car s( fSA( h ) ) pour tout quart de tour h
    donc   s( fSA( g ) ) = 1

    On a donc pour tout g dans G,   s( fSA( g ) ) = 1


    2°) Réciproquement : E = { (x,y) dans S8 x S12 / sgn( x ) = sgn( y ) } est inclus dans Im fSA

    En d'autres termes : est-ce que tout élément de E provient d'un élément de G par fSA ?

    On doit montrer que pour tout  ( x ; y ) dans E, il existe g dans G tel que gS = x et gA = y

    * Soit (x,y) dans S8 x S12 / sgn( x ) = sgn( y ) = 1   i.e   (x,y) dans A8 x A12

    On connaît un élément g de G qui est un 3-cycle sur 3 CS de la face supérieure et qui ne change rien d'autre .
    En particulier, g laisse les CA à leurs places, i.e   g est dans HS = Stab ( FA ) = {g dans G / pour tout s dans FS, g( s )= s}
    On connaît alors un élément de G qui est un 3-cycle sur 3 CS quelconques : il suffit d'amener les 3 CS en question sur la face supérieure à l'aide d'une manipulation b, d'appliquer g puis b-1 et  b g b-1 est un 3-cycle sur les 3 CS.

    Donc pour tout 3-cycle c de A8 , il existe g dans G tel que  gS = c .
    Or, on a le résultat général suivant : pour n>2, An est engendré par les 3-cycles,
    donc pour tout élément x de A8 , il existe g dans HS tel que  gS = x

    De même, on connaît un élément g de G qui est un 3-cycle sur 3 CA de la face supérieure et qui ne change rien d'autre , i.e g est dans HA = Stab ( FS ).
    Et ainsi on peut montrer que : pour tout élément y de A12 , il existe h dans HA tel que  hA = y

    On a donc :
    pour tout (x,y) dans A8 x A12 , il existe g dans HA et h dans HS tels que gS = x et hA = y

    Alors :
    g dans HS donc gA = 1 donc fSA( g ) = ( gS , 1 ) = ( x ,1 )
    h dans HA donc hS = 1 donc fSA( h ) = (1 , hA ) = ( 1 , y )
    fSA est un homomorphisme donc fSA( gh ) = fSA( g ) x fSA( h ) = ( x ,1 ) ( 1 , y ) = ( x , y )
    En posant   k = gh, on a fSA( k ) = ( x , y )
    donc ( x , y ) appartient à Im fSA
    donc A8 x A12 est inclus dans Im fSA

    * (x,y) dans S8 x S12 / sgn( x ) = sgn( y ) = -1

    Soit q un quart de tour d'une face et (qS , qA) = fSA( q )
    alors sgn ( qS ) = sgn( qA ) = (-1)3 = -1 (qS ) et qA sont des 4-cycles)
    (xqS, yqA) est dans A8 x A12 donc il existe k dans G tel que fSA( k ) = (xqS, yqA)
    Alors : fSA( kq-1 ) =fSA( k ) fSA( q-1 ) = (xqS, yqA) ( qS-1 , qA-1 ) = ( x , y )
    donc ( x , y ) appartient à Im fSA

    FIN DE LA DEMONSTRATION


    Noyau de l'homomorphisme fSA : Ker fSA

    Ker fSA = { g dans G / gS = gA = 1} , c'est-à-dire l'ensemble des manipulations du cube qui ne bouge aucun CA ni CS, c'est-à-dire les manipulations qui ne font que pivoter des CA ou des CS sur eux-mêmes.

    On identifie chaque g G avec le quadruplet ( fS( g ) , fA( g ), xg, yg ) où xg et y g sont les "orientations" définies ci-dessous.
    Supposons que le cube soit fixé dans l'espace en position résolue.
    Pour chaque sous-cube mobile (CS ou CA), on choisit une fois pour toutes une facette sur ce sous-cube et on marque cette facette avec un '+' .
    Il y a trois possibilités pour un CS et deux possibilités pour un CA. Le choix est arbitraire mais sans importance : ce qui sera important sera le changement global intervenu sur ces '+'.
    On numérote les CS de 1 à 8 et les CA de 1 à 12.
    Alors, pour chaque g dans G, on observe la configuration du cube après la manipulation g.

    Pour chaque CS, on note
    • un '0' si la facette '+' de ce CS dans sa position actuelle coïncide avec la facette '+' du même CS du cube résolu.
    • un '1' si la facette '+' de ce CS dans sa position actuelle a subi une rotation de 120° autour du sommet par rapport à la facette '+' du même CS du cube résolu.
    • un '2' sinon.
    On obtient ainsi un 8-uplet de '0' , '1' et de '2' : xg = (x1, ... , x8) où chaque xi mesure le changement d'orientation du CS n° i

    Pour chaque CA, on note
    • un '0' si la facette '+' de ce CA dans sa position actuelle coïncide avec la facette '+' du même CA du cube résolu.
    • un '1' sinon.
    On obtient ainsi un 12-uplet de '0' et de '1' : yg = (y1, ... , y8) où chaque yi mesure le changement d'orientation du CA n° i


    Une explication plus imagée :
    On place le cube en position résolue.
    On numérote les CS de 1 à 8 et les CA de 1 à 12.
    Pour chaque sous-cube mobile (CS ou CA), on choisit une fois pour toutes une facette sur ce sous-cube et on marque cette facette avec un '+' .
    On prend une photographie du cube résolu.
    On effectue la manipulation g et on prend une photographie du cube ainsi obtenu.
    On note le changement des facettes '+' de chacun des CS de 1 à 8 (un '0' si elle n'a pas changé, un '1' si elle a tourné de +120° et un '2' si elle a tourné de -120°)
    On note le changement des facettes '+' de chacun des CA de 1 à 12 (un '0' si elle n'a pas changé, un '1' si elle a changé).

    Exemple : S on marque toutes les facettes de la face avant avec un '+', le monoswap aba2b2a2b-1a-1 qui permute les Cs ahd et ahg, en pivotant le CS ahd de 120° dans le sens des aiguilles d'une montre et le CS ahg de 120° dans le sens contraire des aiguilles d'une montre ( cette manipulation affecte aussi d'autres parties du cube).
    Cette manipulation donne un '1'pour le CS ahd et un '2' pour le CS ahg.


    Structure du groupe du Rubik's cube G

    Théorème :
    Un quadruplet (r, s, x, y) avec r S8, s S12, x {0, 1, 2} 8 et y {0, 1} 12 correspond à une position possible du Rubik's cube si et seulement si :
    1. sgn( s ) = sgn( r )        (même parité des permutations sur les CS et les CA)
    2. x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3)        (conservation de l'orientation totale des CS)
    3. y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2)        (conservation de l'orientation totale des CA)


    Soit H = { (r, s, x, y) avec r S8, s S12, x {0, 1, 2} 8, x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3), y {0, 1} 12, y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2) }

    L'opération (r, s, x, y) * (r ', s ', x ', y ') = ( r * r ', s * s', x + r(x ' ), y + s( y') ) définit une structure de groupe sur H.


    Théorème :
    Le groupe du Rubik's cube G est le noyau de l'homomorphisme
    s : (r, s, x, y) H ----> sgn( r ) x sgn( s ) { -1, 1 }


    STRUCTURE DU GROUPE DU RUBIK'S CUBE :

    G est produit semi-direct de Ker fSA et de Im fSA    : G = Ker fSA |x Im fSA

    C'est-à-dire :
    G = { (r, s, x, y) avec r S8, s S12 / sgn( r ) = sgn( s ), x {0, 1, 2} 8 / x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3), y {0, 1} 12 / y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2) }
    Muni de l'opération (de produit-semi-direct) : (r, s, x, y) * (r ', s ', x ', y ') = ( r * r ', s * s', x + r(x ' ), y + s( y') )


    Corollaire :
    G H d'indice 2

    Démonstration du corollaire :
    G est distingué dans H car G = Ker s et un noyau d'homomorphisme est toujours distingué.
    G est d'indice 2 car H / Ker s Im s soit H / G {-1 ; 1}




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    Groupe dérivé du groupe du Rubik's cube  
    On note G' le groupe dérivé de G, i.e le groupe engendré par les commutateurs [ x , y ] = xyx-1y-1

    G ' = <{ [ x , y ] = xyx-1y-1   , x G, y G }> ,
    .



    Théorème :
    G ' = { g G / sgn( fS( g ) ) = sgn( fA( g ) ) = 1}

    C'est-à-dire : G' est le noyau de l'homomorphisme s' : g G ----> ( sgn( fS( g ) ) , sgn( fA( g ) ) { (-1 ; -1) ; (1 ; 1)}

    D'après le premier théorème d'isomorphisme, G / Ker s' Im s' , donc il s'ensuit immédiatement

    Corollaire :
    | G ' | = | G | / 2

    G / Ker s' Im s' soit G / G' { (-1 ; -1) ; (1 ; 1)} d'où | G / G' | = 2

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    Centre du groupe du Rubik's cube  
    Rappel : le centre d'un groupe est l'ensemble des éléments du groupe qui commutent avec tous les autres.
    Le centre d'un groupe G est noté Z(G).
    Z(G) = { g G tels que pour tout h G, hg=gh}
    ou encore Z(G) = { g G tels que pour tout h G, hgh-1=g} i.e l'ensemble des éléments g qui sont leur propre conjugué.


    Le centre de G est Z(G) = {1, m490}
    où m490 est le "superflip" qui fait pivoter tous les cubes-arêtes et laisse invariants les cubes-sommets.

    m490 = dga phb dga pha2 (MR) a2h' (MR)2 p2 (MR)' p2 h (MR)2 b
    avec   MR = "middle right quarter turn" = 1/4 de tour de la tranche de droite (celle qui coupe verticalement la face avant)


    DEMONSTRATION
    Il faut rappeler la structure du groupe G qui est obtenu par produit semi-direct :

    G est produit semi-direct de Ker fSA et de Im fSA    : G = Ker fSA |x Im fSA

    C'est-à-dire :
    G = { (r, s, x, y) avec r S8, s S12 / sgn( r ) = sgn( s ), x {0, 1, 2} 8 / x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3), y {0, 1} 12 / y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2) }
    Muni de l'opération (de produit-semi-direct) : (r, s, x, y) * (r ', s ', x ', y ') = ( r * r ', s * s', x + r(x ' ), y + s( y') )


    Pour cette loi, l'inverse d'un élément (r, s, x, y) est (r-1, s-1 , r-1(-x), s-1(-y) )

    On cherche donc g = (r, s, x, y) tel que pour tout h = ( r', s', x', y') , on ait : h*g*h-1 = g
    soit ( r', s', x', y') * (r, s, x, y) * (r' -1, s' -1 , r' -1(-x'), s' -1(-y') ) = (r, s, x, y)
    soit ( r' * r * r' -1, s' * s * s' -1, x' + r'(x) + r' ( r ( r'-1(-x') )), y' + s' (y) + s' ( s ( s' -1 (-y') )) ) = (r, s, x, y)

    On en déduit que Or pour tout n > 2, Z(Sn) = { 1 }, donc
    On en déduit que Mais comme x et y doivent vérifier les conditions :
    x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3) et y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2) ,
    on en déduit que Donc g = (r, s, x, y) = (1, 1, (0, ... , 0), (0, ... , 0)) = 1G ou g = (r, s, x, y) = (1, 1, (0, ... , 0), (1, ..., 1) ) qui est le superflip.
    donc le centre de G est Z(G) = {1, Superflip}


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    Bibliographie  
    Bibliographie

  • Eléments de théorie des groupes, Josette Calais (P.U.F.)
  • Cours d'algèbre, Daniel Perrin (Polycopié du cours de l'école normale supérieure féminine, édité actuellement chez Masson)
  • Groupes, (observation, théorie, pratique), Alain Bouvier et Denis Richard(Hermann, collection Formation des enseignants)
  • Rubik's cube et groupes de transformations, Publication de l'IREM de DIJON
    (Série ER1, Recherche primaire/secondaire ; Mathématiques et grand public : Rubik's cube et groupes de transformations)
    Cliquez ici pour le commander (10 Francs + environ 10F de frais de port)
  • Article de "Pour la science" n°34, août 1980, "Cube hongrois et théorie des groupes" par Emmanuel Halberstadt
    Cliquez ici pour lire cet article (scanné : attention à la qualité médiocre et au temps de chargement ...)
  • Réussir le Rubik's cube, André Warusfel
  • Tous les secrets du Rubik's cube, Jérôme Jean-Charles

    Documents sur internet : (tout est en anglais ...)

  • Rubik's Cube Lecture Notes : le site du professeur W. D. Joyner, avec tout plein de théorie sur le cube et les groupes
    . Vous pouvez y télécharger un cours complet dédié au Groupe du Rubik's cube "Mathematics of the Rubik's cube".
  • Cube Lovers : Les archives de Cube Lovers
  • Domain of the cube : le site de Mark Longridge's , un fervent Cube Lover (des articles de théorie des groupes)

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