Théorie des groupes et Rubik's cube

Mise en garde   Notations   Générateurs du groupe du cube   Cardinal du groupe   Des groupes finis connus dans le Rubik's cube   Centre du groupe   Structure du groupe   Groupe dérivé du groupe   Bibliographie

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Mise en garde  

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Notations  

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Générateurs du groupe du Rubik's cube  

1. Les 5 générateurs a, g, d, h et p engendrent le générateur b : on a   b = P h P où P = d g' a² p² d g'.
   On a donc G = < a, p, h, g, d >
2. Il y a mieux !   G = < m₉₉₁, m₉₉₂>    où m₉₉₁ = hpghg'h'p' et m₉₉₂ = d²agb'd'

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Cardinal du groupe du Rubik's cube  

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Des groupes finis connus dans le groupe du Rubik's cube  

1. Tout groupe d'ordre inférieur à 13 est isomorphe à un sous-groupe de G.
   Z/13Z (le groupe cyclique d'ordre 13) n'est pas isomorphe à un sous-groupe de G.
2. Tout groupe non-abélien d'ordre inférieur à 26 est isomorphe à un sous-groupe de G.
   D₂₆ (le groupe diédral d'ordre 26) n'est pas isomorphe à un sous-groupe de G.
3. Il existe une représentation du groupe des quaternions dans G
   on note :
   MR = "middle right quarter turn" = 1/4 de tour de la tranche de droite (celle qui coupe verticalement la face avant)
   m₄₃₅ = a² (MR)' ² (MR)² h' (MR)² a²(MR)² a²
   m₇₀₆ = a² (MR) h' (MR)' h' (MR) H (MR)' h a²
   m₇₀₇ = p' a² d' h' (MR) h d h (MR)' h' a² p
   m₇₁₀ = a h² a' h' g' p' h²p h g
   
   alors   Q^* =< 1, m₄₃₅, m₇₀₆, m₇₀₇, m₇₁₀> est isomorphe au groupe des quaternions

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Centre du groupe du Rubik's cube  

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Structure du groupe du Rubik's cube  

• On ne peut pas permuter uniquement deux CS.
  En effet, soit g dans G qui permute deux CS et laisse tous le reste du cube inchangé, alors g_S est une transposition (un échange de deux CS) et g_A est l'identité. On a alors sgn (g_S) = -1 et sgn (g_A) = 1, ce qui est impossible.
• On ne peut pas permuter uniquement deux CA : l'explication est identique à la précedente.

On identifie chaque g G avec le quadruplet ( f_S( g ) , f_A( g ), x_g, y_g ) où x_g et y _g sont les "orientations" définies ci-dessous.
Supposons que le cube soit fixé dans l'espace en position résolue.
Pour chaque sous-cube mobile (CS ou CA), on choisit une fois pour toutes une facette sur ce sous-cube et on marque cette facette avec un '+' .
Il y a trois possibilités pour un CS et deux possibilités pour un CA. Le choix est arbitraire mais sans importance : ce qui sera important sera le changement global intervenu sur ces '+'.
On numérote les CS de 1 à 8 et les CA de 1 à 12.
Alors, pour chaque g dans G, on observe la configuration du cube après la manipulation g.

Pour chaque CS, on note

• un '0' si la facette '+' de ce CS dans sa position actuelle coïncide avec la facette '+' du même CS du cube résolu.
• un '1' si la facette '+' de ce CS dans sa position actuelle a subi une rotation de 120° autour du sommet par rapport à la facette '+' du même CS du cube résolu.
• un '2' sinon.

On obtient ainsi un 8-uplet de '0' , '1' et de '2' : x_g = (x₁, ... , x₈) où chaque x_i mesure le changement d'orientation du CS n° i

Pour chaque CA, on note

• un '0' si la facette '+' de ce CA dans sa position actuelle coïncide avec la facette '+' du même CA du cube résolu.
• un '1' sinon.

On obtient ainsi un 12-uplet de '0' et de '1' : y_g = (y₁, ... , y₈) où chaque y_i mesure le changement d'orientation du CA n° i

Une explication plus imagée :
On place le cube en position résolue.
On numérote les CS de 1 à 8 et les CA de 1 à 12.
Pour chaque sous-cube mobile (CS ou CA), on choisit une fois pour toutes une facette sur ce sous-cube et on marque cette facette avec un '+' .
On prend une photographie du cube résolu.
On effectue la manipulation g et on prend une photographie du cube ainsi obtenu.
On note le changement des facettes '+' de chacun des CS de 1 à 8 (un '0' si elle n'a pas changé, un '1' si elle a tourné de +120° et un '2' si elle a tourné de -120°)
On note le changement des facettes '+' de chacun des CA de 1 à 12 (un '0' si elle n'a pas changé, un '1' si elle a changé).

Un quadruplet (r, s, x, y) avec r S12, s S8, x {0, 1, 2} 8 et y {0, 1} 12 correspond à une position possible du Rubik's cube si et seulement si : sgn( s ) = sgn( r )        (même parité des permutations sur les CS et les CA) x1 + x2 + ... + x8 = 0 (mod 3)        (conservation de l'orientation totale des CS) y1 + y2 + ... + y12 = 0 (mod 2)        (conservation de l'orientation totale des CA)

Soit H = { (r, s, x, y) avec r S₁₂, s S₈, x {0, 1, 2} ⁸, x₁ + x₂ + ... + x₈ = 0 (mod 3), y {0, 1} ¹², y₁ + y₂ + ... + y₁₂ = 0 (mod 2) }

Le groupe du Rubik's cube G est le noyau de l'homomorphisme s : (r, s, x, y) H ----> sgn( r ) x sgn( s ) { -1, 1 }

G H d'indice 2

Démonstration du corollaire :
G est distingué dans H car G = Ker s et un noyau d'homomorphisme est toujours distingué (il est même caractéristique, i.e stable par tout automorphisme, et pas seulement par les automorphismes intérieurs).
G est d'indice 2 car H / Ker s Im s soit H / G {-1 ; 1}

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Groupe dérivé du groupe du Rubik's cube  

On note G' le groupe dérivé de G, i.e le groupe engendré par les commutateurs [ x , y ] = xyx^-1y^-1

G ' = <{ [ x , y ] = xyx^-1y^-1   , x G, y G }> , .

G ' = { g G / sgn( fS( g ) ) = sgn( fA( g ) ) = 1}

s' : g G ----> ( sgn( f_S( g ) ) , sgn( f_A( g ) ) { (-1 ; -1) ; (1 ; 1)}

G / Ker s' Im s' soit G / G' { (-1 ; -1) ; (1 ; 1)} d'où | G / G' | = 2

G ' G

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Bibliographie