Quelques détails sur l'algorithme d'Archimède
La méthode d'Archimède consiste à encadrer la longueur du cercle de rayon 1 par les polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercleà 6 côtés, puis à 12 côtés, puis 24, 48, 96, ... c'est-à-dire les polygones réguliers à 6 x 2n côtés.
Le résultat d'archimède, 3+10/71 < pi < 3+1/7 , a été obtenu avec les polygones à 96 côtés.
*** Les calculs ont été faits à la main et sans la notations décimale ni les notations algébriques modernes !!! ***
Les calculs (avec les notations actuelles ...) donnent :
Longueur du polygone régulier à 6 x 2n côtés inscrit inscrit dans le cercle : In = 6 x 2n x sin ( pi / 6 x 2n)
Longueur du polygone régulier à 6 x 2n côtés circonscrit au cercle : Cn = 6 x 2n x tan ( pi / 6 x 2n)
On peut facilement montrer avec les connaissances de terminales en analyse que les suites (In) et (Cn) convergent vers pi.
Efficacité de l'algorithme d'Archimède : au rang n , on obtient 3/5 n décimales justes.
Remarque
Archimède a simplement oublié de prouver quelque chose qui était évident pour lui mais qui ne l'est pas du tout dès que l'on veut être un peu rigoureux : le fait que la suites des polygones a effectivement pour limite le cercle...
On peut en effet facilement "coincer" une courbe entre les deux polygones inscrits et circonscrits à 6 x 2n côtés qui ait une longueur bien plus grande que celle du cercle (imaginez par exemple une ficelle détendue logée entre le polygone inscrit et le polygone circonscrit).